什么叫实数

实数是有理数和无理数的总称。在数学上，实数被定义为与数轴上的点相对应的数。实数可以直观地看成是有限小数和无限小数，实数和数轴上的点一一对应的关系。然而，实数的整体不能仅仅通过列举的方式来描述。实数和虚数一起构成复数。

　　密封性

　　实数集R接近加减乘除四种运算(除数不为零)，即任意两个实数(除数不为零)的和、差、积、商仍然是实数。

　　整齐

　　实数集合是有序的，即任意两个实数A和B必须满足以下三个关系之一：ab。

　　-传递性

　　实数大小是传递的，即如果ab，bc，有ac。

　　阿基米德的财产

　　实数具有阿基米德性质，即对于任意a，bR，如果ba0，则有正整数n，使nab。

　　密集

　　实数R的集合是稠密的，即两个不相等的实数之间一定有另一个实数，有理数和无理数都有。

　　实数集通常被描述为“完全有序域”，可以用几种方式来解释。

　　首先，有序域可以是一个完整的格。但是很容易发现，没有一个有序域是完全格。这是因为有序域没有最大的元素(对于任何元素z，z ^ 1都会更大)。所以这里的“完整”并不代表完整。

　　此外，有序域满足上述公理中定义的戴德金完备性。上面提到的唯一性，也说明了这里的“完整”是指戴德金的完整。这种完备性的含义很接近于用德德金划分构造实数的方法，即从(有理数)序域出发，用标准方法建立戴德金完备性。

　　这两个完备性概念忽略了字段的结构。而有序群(域是一个特殊的群)可以定义一个均匀空间，均匀空间有完全空间的概念。以上完备性中所描述的只是一个特例。(这里采用了一致空间中的完备性概念，而不是相关的众所周知的度量空间的完备性。这是因为度量空间的定义取决于实数的性质。当然，R不是唯一一致完备的有序域，但它是唯一一致完备的阿基米德域。事实上，“完全阿基米德域”比“完全有序域”更常见。可以证明，任何一致完备的阿基米德定义域都必须是戴德金完备的(反之亦然)。这种完备性的含义很接近于用柯西序列构造实数的方法，即从阿基米德场出发，用标准方法建立一致完备性。

　　“完全阿基米德域”最早是希尔伯特提出的，他也想表达一些不同的意思。他认为实数构成了最大的阿基米德域，即所有其他阿基米德域都是R的子域，这样，R是“完全的”，也就是说在它上面加任何元素都会使它不再是阿基米德域。这种完备性的含义很接近于超实数构造实数的方法，即从一个包含所有(超实数)有序场的纯类出发，从其子场中找出最大的阿基米德场。