如何求矩阵的逆矩阵(求矩阵的逆的三种方法)

需要的前置数学知识:一元一次,一元二次方程的解法,基本的初中代数。

会用到的记号

读者对象:初中高年级,高中生,大学低年级学生以及其它数学爱好者。讲解了矩阵,增广矩阵,矩阵乘法,转置,行列向量,求矩阵的逆等基本矩阵操作。以线性方程导入。力求推理清楚,核心要点明确。后续下一篇会有矩阵与几何变换。

一次方程组的矩阵形式

一元一次方程

解写成:

二元一次方程组

的解不能写得像一元方程这么简单,我们通过例子看一下。

叫2X2的矩阵

叫列向量,常数项也可以用列向量表示为

有了矩阵与列向量的概念,就可以将二元方程组与一元方程统一写成一样的形式。二元方程组写成

形式上与一元方程一样。为了让解的形式上也一样,就要有

如果要让AX能与方程组形式对应起来就必须使得A的第一行的每个元素与X的每个元素对位相乘加起来,做为第一个方程的左边,用A的第二行的每个元素与X的每个元素对位乘再加起来做为第二个方程的左边,从代数上看会形成一个列向量如下:

这就是矩阵与列向量相乘的基本法则,简单记忆为行与列对位相乘后再加起来。

例1. 计算

我们发现,

乘以任意的列向量,结果不变,我们就叫这个特殊的主对角线全为1,其它元素为0的矩阵为幺矩阵,类比于数“1”。记为I

模仿

就有

那么解方程的过程可以形式化写成

这个A-1叫做矩阵A的逆矩阵。

如果我们把X,C扩展成三元列向量,A扩展成3x3矩阵,上面的过程依然可以用,而且矩阵与列向量的乘法规则不变。为了使得我们介绍的这套方案具有可操作性,需要求矩阵的逆矩阵,需要求矩阵与列向量的乘法,需要矩阵与矩阵的乘法。接下来讲这些概念与方法。

列向量与行向量

是一个列向量,我们也可以定义行向量

矩阵转置

WW可以看成w行列对位对调形成的,也叫转置。对于一个矩阵A我们也可以定义其转置,也是对位的行与列对调。

向量的数积

我们可以定义行向量与列向量的数积,也叫内积如下

矩阵的乘法

A是个矩阵,A-1当然也就是个矩阵。一般地两个2x2的矩阵A,B的乘积可以这样加以扩充

把B看成一个两个列向量横向拼接而成的数阵,把A看成一个两个行向量纵向拼接而成的数阵。

AB乘积也是个2x2的矩阵,那么,AB第1行第1列的元素就是A的第一行向量与B的第一列向量的数积,第1行第2列的元素就是A的第一行向量与B的第二列向量的乘积,第二行第一个元素是A的第2行向量与B的第一列向量的数乘,第二行第2个元素的是A第2行向量与B的第2列向量的数积。我们也可以按上述方式定义nxn的两个矩阵A,B的乘积,乘积的第i行,第j列的元素为

矩阵乘法符合结合律

所以

矩阵的乘法已经不符合交换律了。例如

矩阵转置的一些性质

按转置的定义就有

下面证明

最后我们讲矩阵求逆的方法,这是最重要的,也是本文的难点。

矩阵求逆

矩阵中最核心的思想之一是用矩阵作用矩阵。

会使得x,y发生交换,这就是矩阵的作用。设R是一个nxn的矩阵,如果对角线上的元素除去

其它位置都是0

作用于任意的nxn矩阵,会使得其i行与j行发生交换。而一个主对角线全为1,i行,j列元素为1,其它元素为0的矩阵

作用于nxn的矩阵,会导致,第i行是第i行与j行的对位和,其它不变.如果

第i行会出现第i行与第j行的对位差。

将幺矩阵I的元素变为

其它主对角线元素还是1,那么作用于任意nxn矩阵,则矩阵的第i行的每一个元素都变大a倍,其余不变。这样我们可以精心设计一组矩阵R1,R2,…,RN将一个nxn的矩阵A变为一个幺矩阵,每一次用矩阵乘无非是在模拟消元法解方程的步骤而已。

于是我们有

也就是说我们可以按下面的程序来求矩阵的逆。

第一步,把nxn的矩阵A扩充为一个新的矩阵,前面n列保持不变,后面添加n列,添加的n列恰形成一个幺矩阵。这个扩充的新矩阵叫原来矩阵的增广矩阵。

第二步,可以对任意一行的所有元素同乘一个数,同除一个数,

也可以将任意两行加减替换掉其中的任意一行。

第三步,如果前n列已经是一个幺矩阵,或者主对角线除去1就是0,而其它地方的元素全为0,就终止过程,否则重复第二步。

第四步,如果前面的n列已经变为幺矩阵,则后面的n列形成的矩阵就是A的逆矩阵了。

例题2,求

的逆矩阵

解:

所以

以上手续就可以帮我们解任意一次方程组了,当然具体的程序还有很多技巧,不在我们的讲解范围内。