如何求矩阵的逆矩阵(求矩阵的逆的三种方法)

需要的前置数学知识：一元一次，一元二次方程的解法，基本的初中代数。

会用到的记号

读者对象：初中高年级，高中生，大学低年级学生以及其它数学爱好者。讲解了矩阵，增广矩阵，矩阵乘法，转置，行列向量，求矩阵的逆等基本矩阵操作。以线性方程导入。力求推理清楚，核心要点明确。后续下一篇会有矩阵与几何变换。

一次方程组的矩阵形式

一元一次方程

解写成：

二元一次方程组

的解不能写得像一元方程这么简单，我们通过例子看一下。

叫2X2的矩阵

叫列向量，常数项也可以用列向量表示为

有了矩阵与列向量的概念，就可以将二元方程组与一元方程统一写成一样的形式。二元方程组写成

形式上与一元方程一样。为了让解的形式上也一样，就要有

如果要让AX能与方程组形式对应起来就必须使得A的第一行的每个元素与X的每个元素对位相乘加起来，做为第一个方程的左边，用A的第二行的每个元素与X的每个元素对位乘再加起来做为第二个方程的左边，从代数上看会形成一个列向量如下：

这就是矩阵与列向量相乘的基本法则，简单记忆为行与列对位相乘后再加起来。

例1. 计算

我们发现，

乘以任意的列向量，结果不变，我们就叫这个特殊的主对角线全为1，其它元素为0的矩阵为幺矩阵，类比于数“1”。记为I

模仿

就有

那么解方程的过程可以形式化写成

这个A-1叫做矩阵A的逆矩阵。

如果我们把X，C扩展成三元列向量,A扩展成3x3矩阵，上面的过程依然可以用，而且矩阵与列向量的乘法规则不变。为了使得我们介绍的这套方案具有可操作性，需要求矩阵的逆矩阵，需要求矩阵与列向量的乘法，需要矩阵与矩阵的乘法。接下来讲这些概念与方法。

列向量与行向量

是一个列向量，我们也可以定义行向量

矩阵转置

WW可以看成w行列对位对调形成的，也叫转置。对于一个矩阵A我们也可以定义其转置，也是对位的行与列对调。

向量的数积

我们可以定义行向量与列向量的数积，也叫内积如下

矩阵的乘法

A是个矩阵，A-1当然也就是个矩阵。一般地两个2x2的矩阵A,B的乘积可以这样加以扩充

把B看成一个两个列向量横向拼接而成的数阵，把A看成一个两个行向量纵向拼接而成的数阵。

AB乘积也是个2x2的矩阵，那么，AB第1行第1列的元素就是A的第一行向量与B的第一列向量的数积，第1行第2列的元素就是A的第一行向量与B的第二列向量的乘积，第二行第一个元素是A的第2行向量与B的第一列向量的数乘，第二行第2个元素的是A第2行向量与B的第2列向量的数积。我们也可以按上述方式定义nxn的两个矩阵A,B的乘积，乘积的第i行，第j列的元素为

矩阵乘法符合结合律

但

所以

矩阵的乘法已经不符合交换律了。例如

矩阵转置的一些性质

按转置的定义就有

下面证明

最后我们讲矩阵求逆的方法，这是最重要的，也是本文的难点。

矩阵求逆

矩阵中最核心的思想之一是用矩阵作用矩阵。

会使得x，y发生交换,这就是矩阵的作用。设R是一个nxn的矩阵，如果对角线上的元素除去

其它位置都是0

作用于任意的nxn矩阵，会使得其i行与j行发生交换。而一个主对角线全为1，i行，j列元素为1，其它元素为0的矩阵

作用于nxn的矩阵，会导致，第i行是第i行与j行的对位和，其它不变.如果

第i行会出现第i行与第j行的对位差。

将幺矩阵I的元素变为

其它主对角线元素还是1，那么作用于任意nxn矩阵，则矩阵的第i行的每一个元素都变大a倍，其余不变。这样我们可以精心设计一组矩阵R1,R2,…，RN将一个nxn的矩阵A变为一个幺矩阵，每一次用矩阵乘无非是在模拟消元法解方程的步骤而已。

于是我们有

也就是说我们可以按下面的程序来求矩阵的逆。

第一步，把nxn的矩阵A扩充为一个新的矩阵，前面n列保持不变，后面添加n列，添加的n列恰形成一个幺矩阵。这个扩充的新矩阵叫原来矩阵的增广矩阵。

第二步，可以对任意一行的所有元素同乘一个数，同除一个数，

也可以将任意两行加减替换掉其中的任意一行。

第三步，如果前n列已经是一个幺矩阵，或者主对角线除去1就是0，而其它地方的元素全为0，就终止过程，否则重复第二步。

第四步，如果前面的n列已经变为幺矩阵，则后面的n列形成的矩阵就是A的逆矩阵了。

例题2，求

的逆矩阵

解：

所以

以上手续就可以帮我们解任意一次方程组了，当然具体的程序还有很多技巧，不在我们的讲解范围内。