为什么除数不能为零(除数和分母可以为零吗)

　　在数学教学中我们都知道有这么个规定：0不能做除数。可是0为什么不能做除数呢？查阅了很多专家的讲解再加上自己的一点体会，下面我们就从数学理论上来分析一下。

　　在小学数学中定义除法是乘法的逆运算，就是已知积与一个因数求另一个因数的运算。从整数除法定义中可以知道：

　　如果bq=a，那么a÷b=q

　　当a=0，b≠0时，

　　∵ b×0=0

　　∴ 0÷b=0

　　（这是除法的补充定义）

　　但除数b不能是零，这是因为如果b=0，那么：

　　1．当a≠0时，由于任何数乘0都不可能等于整数a，所以a÷0的商就是不存在的。

　　2．当a=0时，因为任何数和0相乘都得0，所以a÷0的商是不确定的。

　　我们知道，在加法、减法与乘法中，和、差（如果存在）与积都是唯一的，在除法中也要排除商（如果存在）不是唯一的情况，因此规定在除法中，除数不能是0。

　　理论上也许比较费解。我们知道除法有两种含义，一个是“平均分”，一个是“每几个一份”。例如有6个苹果，平均分给三个小朋友，每个小朋友分得几个？就是把6平均分成三份求每份是几，所以6÷3=2（个）。同样有6个苹果，要想每个小朋友分2个，可以分给几个小朋友？就是求6里面有几个2？算式6÷2=3（个）。

　　上述情况要是除数为0的话就出现了下面的情况：

　　1．把6个苹果平均分成0份，每份是几个？这是没有答案的，6个苹果不能分成0份这是不可能的。

　　2．有6个苹果，每个小朋友分0个，能分给几个小朋友？这也很可笑了，每个小朋友分0个，那个不管有多少个小朋友都可以了，反正小朋友手里没苹果。这里的答案是不确定的。所以0不能做除数了。

　　这样我们就明确了0为什么不能作为除数了。但是这里值得一提的是我们在学习分数的时候会有一节课专门研究分数和除法的关系，从而想到分数的分母也不能是0，那是不是因为除数不能为0，所以分母也不能是0吗？

　　答案是否定的。分母不能是0，不是由除数不能是0所决定的，而是由分数的定义决定的。小学数学中提到把单位“1”平均分成若干份，表示这样一份或者几份的数叫做分数。在理论上分数的定义是：形如m/n（m和n都是正整数，且n＞1，m＞0）的叫做分数。

　　同时，从分数m/n也应该包括整数来考虑，m也可以是0，n也可以是1。因此有了下面的补充定义：当n=1时，m/n=m/1=m；当m=0时，m/n=0/n=0。而根据上述的定义和补充定义，分数的分母n不可能是0，一旦是0就不符合分数的定义了。

　　另外，在分数的产生过程中，从度量方面看当用一个长度B作为标准（度量单位）去度量另一个长度A时，如果不能恰好量尽，为了仍用B来表示度量结果，就需要把B分成n等份后再去度量A。如果恰有m次量尽，就可以用把B分成n等份后的m等份来度量A的结果，即m/n。由此可以看出n不能是0且是一个大于1的正整数。

　　因此，由分数的定义和分数产生的过程可知，分数的分母是不能为0的。

　　正像上面所描述的，在数学中，规定0不能作除数是为了保证除法结果的唯一性；规定1不是质数，是为了保证整数分解质因数的形式是唯一的；规定数轴的正方向为向右，规定直角坐标系的x轴的正方向向右，y轴的正方向向上也是为了统一，保持数学的结果是唯一而做的要求。

　　因此可以看出，数学中很多规定是人为的，是人们对这门学科有了一定的认识后为了达到统一要求而做的规定。

　　除的本意是做等分的，0等分如何定义？

　　在《乘除法的认识》的教学中，对于“0不能做除数”的规定，常说“零做除数没有意义”或“规定零不能做除数”，许多教师往往只是把它当作一个结论来处理，强调“0做除数，没有意义”。其实这正是“乘除法关系”的一个极好的例子。

究竟“零为什么不能做除数”呢？

　　这可从两个方面谈起：

　　一、当被除数是零，除数也是零时，我们可写成0÷0=X的形式，看商X是什么？根据乘法与除法互为逆运算的关系有：被除数=除数×商，这里除数已为零，商X无论是什么数（是正数、负数、零）、与零相乘都等于零。即0=0×X，这样商X是不固定的。X是任何数与零相乘都等于零。我们知道四则运算的结果是唯一的，这就破坏了四则运算结果的唯一性。在这种情况下，我们简单地说：“被除数和除数都为零时，不能得到固定的商。”

　　二、当被除数不为零时，而除数为零时的结果看，我们可写成5÷0=X，商X无论是什么数，与除数“0”相乘都得零，而不会得5，即0×X≠5或其他不是零的数。我们简单地说：“当被除数为零，而除数是零时，用乘除法的关系来检验，是‘还不回原的’”。所以，“0”在4种运算中，就是不可以以除数的身份出现。鉴于以上两种情况：一是零做除数不能得到固定的商；二是零做除数还不回原。因此说：“零做除数没有意义”或“规定零不能做除数”。

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