怎么开平方(开方公式推导)

有时我们需要将一个完全平方数开平方，怎样开平方呢？其原理又是什么呢？下面介绍一些方法，最后一种方法十分巧妙又十分简单，对于得数是两位数的不仅可秒杀还可确定答案，也就是答案已验证了。

方法一：利用余数规律和估算。

以4489开平方为例，通过估算可以知道答案在60多，再根据尾数，知道个位数字为3或7，因4489除以9余7，因此，个位为7才成立，因此，4489如果是完全平方数则是67的平方。

这种方法的好处是快、计算量小，缺点是不通用，如果不是完全平方数开方则行不通，因此，题目没有确定是完全平方数时，答案需进一步验证，否则不可靠。

方法二：手工开平方，从末尾每两个数字为一节，类似除法竖式。

还是以4489为例：

由前两位44，得出商（为了方便这里还是称为商和试商，虽然不严谨也不科学，但应不防碍讲清楚方法和算理）为6，并且是十位为6，余数8，再将后两位落下成为889，接下来要找的数是12？×？＝889，其中的12为原来商的2倍（考虑位值应该是20倍）。为什么要乘2？根据完全平方公式（a＋b）＾2＝a＾2＋2ab＋b＾2＝a＾2＋（2a＋b）×b，前面的6（实为60）是a，12？就是2a＋b。这就是前面的商乘2再后面添上要试的商做除数来试商的原理。经试商127×7＝889，刚好开完。答案为67。如果没开完，所得的商乘2再添上新试的商做除数继续就行了。

这种方法的好处是总是有效，缺点是计算量有时较大。

方法三，利用平方差公式。a＾2－b＾2＝（a－b）×（a＋b）。

还是以4489为例，可以取65＾2＝4225（速算法：6×7＝42，5×5＝25，原理此处不详细说）

4489－4225＝264＝2×132（差不大，和为a、b的2倍左右，大于120，小于140）

这样，65＋2＝67，132－65＝67，说明完全正确。

也可以这样算：

70×70一4489＝411＝3×137

70－3＝67，137－70也是67。

这种方法是不是很妙？随便找一个完全平方数均可秒杀，而且答案令人放心，计算量也小。