调和级数为什么发散(广义调和级数发散)

堆砖问题（block-stacking problem）提出

将N块一致、刚性、完美的长方体形砖以某种方式稳定叠放在桌子上，同时最大限度地延伸出桌子边缘。

如下图以N=3为例，堆砖问题为通过某种堆叠方式，确保长度S(3)取得最大值。

堆砖问题求解

堆砖问题本质上是一道物理题。要稳定堆叠砖块，需要各块砖都能够保持稳定状态，即各块砖的重力引起的保持平衡。

令砖的长度为2。

当N=1时堆砖方法为一半突出桌子边缘，也即桌子重心在桌子边缘上，此时重力引起的力矩为零。此时堆砖问题解为：S(1)=1。

一块砖情况

当N=2时，在N=1的基础上，在第一块砖与桌面之间插入第二块砖。第一块伸出长度保持不变。第二块砖要保持平衡，第一块砖对第二块砖施加的力矩与第二块砖自身力矩之和保持为零。如此计算得到：

代入参数得：

解得

两块砖情况

当N=3时，在N=2的基础上，在第二块砖与桌面之间插入第三块砖。第一块砖与第二块砖的伸出长度保持不变，故前两块砖的平衡性保持不变。

三块砖情况

第三块砖要保持平衡，就得前两块砖施加的转动矩与自身的转动矩之和为零，也即

代入相关参数，得到

解得

这个时候，我们能看出规律来了，即

第n块砖能够伸出的最大长度

这个规律是不是普遍成立的呢？下面我们用归纳法来验证一下。假定以及按上述规律摆放了N块砖，我们来考察一下N 1砖的情况。此时在N块砖的基础上，在前N块砖与桌面之间插入第N 1块砖。前N块砖的伸出长度与n=N时的情况保持不变。我们下面求第N 1块砖的伸出长度。同样的道理，对第N 1块砖而言，前N块的施加的转动矩与自身的转动矩保持不变，也即

代入相关参数，得到

解得

即当n=N 1时也成立，也即第n块砖伸出的最大长度为n分之一。

从N块砖到N 1块砖情况变化

有趣的结论

通过上述分析，我们发现，如果有N块砖，第一块伸出长度是1，第二块砖的伸出长度是二分之一，第三块砖的伸出长度是三分之一，以此类推，第N块砖的伸出长度是N分之一。

那么N块砖的伸出长度之和正好是一个调和数，也即

巧不巧？居然与调和级数扯上关系！！！

那么当N趋向无穷大时，调和数变成了调和级数，而调和级数是发散的。故我们知道，当N趋于无穷大时，所有砖块伸出长度之和趋于无穷大。

世界上最遥远的距离

泰戈尔

世界上最遥远的距离

不是生与死的距离

而是我站在你面前，你却不知道我爱你

世界上最遥远的距离

不是我站在你面前，你不知道我爱你

而是爱你爱到痴迷，却不能说我爱你

世界上最遥远的距离

不是我不能说我爱你

而是想你痛彻心脾，却只能深埋心底

世界上最遥远的距离

不是我不能说我想你

而是彼此相爱，却不能在一起

世界上最遥远的距离

不是彼此相爱，却不能在一起

而是明明无法抵挡这一股气息，却还得装做毫不在意

世界上最遥远的距离

不是明明无法抵挡这一股气息，却还装做毫不在意

而是你用一颗冷漠的心，在你和爱你的人之间，掘了一条无法跨越的沟渠

世界上最遥远的距离

不是树与树的距离

而是同根生长的树枝，却无法在风中相依

世界上最遥远的距离

不是树枝无法相依

而是相互瞭望的星星，却没有交汇的轨迹

世界上最遥远的距离

不是星星之间的轨迹

而是纵然轨迹交汇，却在瞬间无处寻觅

世界上最遥远的距离

不是瞬间便无处寻觅

而是尚未相遇，便注定无法相聚

世界上最遥远的距离

是飞鸟与鱼的距离

一个翱翔天际，一个却深潜海底